PRÉLIMINAIRES

I. Épistémologie et Enjeux Scientifiques du Domaine

L’articulation de la géométrie analytique et de l’analyse numérique marque le passage irréversible des mathématiques contemplatives aux mathématiques computationnelles. Historiquement distinctes, ces deux branches convergent aujourd’hui pour former le socle de la modélisation moderne, où la description algébrique de l’espace (géométrie) est rendue calculable par des méthodes d’approximation (analyse numérique). Cet enseignement acte cette fusion. Il vise à équiper le statisticien non plus d’un savoir théorique inerte, mais d’une capacité à transformer un problème réel, spatial ou dynamique, en un modèle mathématique soluble par algorithme.

II. Cartographie des Compétences et Transversalité

Cette Unité d’Enseignement forge une compétence duale, au croisement de la visualisation et du calcul. La maîtrise de la géométrie analytique permet la modélisation spatiale des données, une compétence cruciale en épidémiologie, en urbanisme ou en géomarketing pour analyser la diffusion de phénomènes. Simultanément, l’analyse numérique offre les outils pour résoudre les équations complexes qui régissent ces modèles, optimiser des systèmes et quantifier les incertitudes. Cette transversalité rend le diplômé immédiatement opérationnel pour des missions d’analyse quantitative, où la simple description statistique est dépassée par la nécessité de prédire et d’optimiser.

III. Alignement Stratégique avec les Réalités Opérationnelles

Face aux défis de la planification économique et du développement en RDC, la demande pour des analystes quantitatifs et des modélisateurs de données explose. Ce cours est conçu comme une réponse directe à ce besoin. Un chargé d’études statistiques capable de modéliser la dispersion d’une culture agricole via des équations différentielles, puis de résoudre numériquement le système pour optimiser les rendements, possède un avantage concurrentiel décisif. L’objectif est de produire des profils capables de fournir des aides à la décision chiffrées, robustes et scientifiquement fondées aux entreprises et aux administrations publiques.

PARTIE 1 : ALGÈBRE 3 – GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET MODÉLISATION SPATIALE

Chapitre I. Fondements des Espaces Vectoriels et Systèmes de Coordonnées

I.1 Dualité Algèbre-Géométrie : L’Héritage Cartésien

Issue de la révolution intellectuelle du XVIIe siècle, la géométrie analytique de Descartes et Fermat établit une correspondance biunivoque entre objet géométrique et équation algébrique. Cette section ancre ce principe fondateur. L’étudiant saisira comment un point devient un couple de nombres, une droite une équation linéaire, et un cercle une équation du second degré. La maîtrise de cette traduction est la condition sine qua non pour transformer un problème spatial intuitif en un problème mathématique formel, traitable par le calcul et l’algorithmique.

I.2 Structures Vectorielles et Bases Orthogonales

Au cœur de la manipulation des données spatiales se trouve l’espace vectoriel, structure algébrique qui formalise les notions de direction et de magnitude. Ce sous-chapitre se concentre sur la construction et la manipulation des bases, en particulier les bases orthonormées qui simplifient drastiquement les calculs de distances et d’angles. L’étudiant apprendra à projeter des vecteurs, à effectuer des changements de base et à utiliser le produit scalaire comme outil fondamental pour quantifier les relations géométriques entre les objets, préparant le terrain pour la modélisation statistique multivariée.

I.3 Dégénérescence et Singularités des Systèmes Linéaires

Confrontée à des systèmes d’équations surdéterminés ou redondants, l’élégance de la géométrie analytique révèle ses limites pratiques. Une matrice singulière, par exemple, signale une perte d’information ou une dépendance linéaire qui rend la solution unique impossible. Ce segment analyse les cas de dégénérescence : droites parallèles ou confondues, plans sans intersection unique. L’objectif est de former l’étudiant à diagnostiquer ces singularités, non comme des erreurs, mais comme des informations cruciales sur la nature du problème spatial modélisé, une compétence vitale en analyse de données.

I.4 Application à la Micro-cartographie Foncière Urbaine

Dans le contexte de l’urbanisation rapide de Kinshasa, la délimitation des parcelles cadastrales constitue un défi majeur. Ce cas pratique utilise la géométrie analytique pour modéliser des parcelles polygonales à partir de relevés GPS partiels et bruités. L’étudiant devra définir chaque limite par une équation de droite, calculer les intersections pour retrouver les sommets manquants et déterminer la superficie exacte par triangulation. Cet exercice concret démontre l’utilité directe de la matière pour résoudre des problèmes de gestion foncière et de prévention des conflits.

Chapitre II. Étude des Courbes et Surfaces du Second Degré (Coniques et Quadriques)

II.1 Classification et Propriétés Focales des Coniques

Nées de l’intersection d’un cône et d’un plan, les coniques (ellipse, parabole, hyperbole) sont les briques élémentaires de la modélisation de trajectoires et de formes naturelles. Cette section établit leur classification rigoureuse à partir de l’équation générale du second degré et de ses invariants. L’analyse se porte sur les propriétés focales, qui expliquent des phénomènes physiques allant de l’orbite des planètes à la conception d’antennes paraboliques. La maîtrise de ces formes est fondamentale pour tout modélisateur de données cherchant à ajuster des courbes à des nuages de points.

II.2 Réduction de l’Équation Générale et Formes Canoniques

Sous l’angle de l’algèbre matricielle, l’équation d’une conique ou d’une quadrique se ramène à une forme quadratique. Ce sous-chapitre instrumentalise la diagonalisation des matrices symétriques pour éliminer les termes rectangles (xy, yz, xz) par une rotation appropriée du repère. L’étudiant apprendra la méthode des valeurs propres pour trouver l’orientation des axes principaux de la figure et la ramener à sa forme canonique. Cette technique est un puissant outil de simplification et d’identification de la nature géométrique d’un objet complexe.

II.3 Limites de la Modélisation Quadratique et Phénomènes d’Instabilité

Malgré leur puissance, les modèles quadratiques échouent à capturer des courbures plus complexes ou des points d’inflexion multiples. Ce segment critique analyse les situations où l’ajustement d’une conique à un ensemble de données produit des résultats aberrants ou instables, notamment en présence de points aberrants (outliers). Il introduit la notion de robustesse d’un modèle et questionne la pertinence d’un modèle du second degré face à des données réelles, ouvrant la voie à des méthodes non-linéaires plus sophistiquées comme les splines ou les polynômes de degré supérieur.

II.4 Modélisation de la Dispersion d’un Contaminant dans un Lac

Le lac Kivu présente des défis uniques de surveillance environnementale. Ce cas d’étude utilise les quadriques, spécifiquement les ellipsoïdes, pour modéliser en 3D l’enveloppe de dispersion d’un polluant issu d’une source ponctuelle. En se basant sur des mesures de concentration à différents points, l’étudiant devra déterminer l’équation de l’ellipsoïde qui approxime le mieux le nuage de points du contaminant. L’orientation des axes principaux de l’ellipsoïde révélera alors les directions de dispersion préférentielles, influencées par les courants sous-lacustres, fournissant un outil d’aide à la décision.

Chapitre III. Transformations Géométriques et Leurs Représentations Matricielles

III.1 Groupe des Transformations Affines : Translations, Rotations, Homothéties

Les transformations géométriques constituent le langage dynamique de la géométrie, décrivant le mouvement et la déformation des objets. Cette section formalise les transformations affines (translations, rotations, mises à l’échelle, cisaillements) qui préservent le parallélisme. L’accent est mis sur leur structure de groupe, permettant de composer les transformations et de définir leur inverse. Comprendre cette grammaire est essentiel pour manipuler des objets dans les logiciels de CAO, les systèmes d’information géographique (SIG) et l’infographie, domaines d’application directs pour un modélisateur de données.

III.2 Coordonnées Homogènes et Matrice de Transformation 4×4

Pour unifier la représentation des transformations, les coordonnées homogènes projettent l’espace 3D dans un espace à 4 dimensions. Cette astuce mathématique permet de représenter les translations, qui sont des additions, sous forme de produits matriciels, comme les rotations et les mises à l’échelle. Ce sous-chapitre enseigne la construction et l’utilisation des matrices de transformation 4×4. L’étudiant apprendra à concaténer plusieurs opérations en une seule matrice, une technique au cœur des moteurs graphiques et des calculs de positionnement robotique.

III.3 Problème de la Stabilité Numérique des Transformations Multiples

La composition répétée de transformations matricielles, notamment dans les simulations animées ou les calculs itératifs, peut conduire à une accumulation d’erreurs d’arrondi. Ce phénomène, connu sous le nom d’instabilité numérique, peut déformer progressivement les objets jusqu’à les rendre méconnaissables. Cette analyse critique expose les causes de cette dérive, liées à la précision finie des nombres en virgule flottante. Elle introduit des stratégies de mitigation comme la ré-orthogonalisation périodique des matrices de rotation pour préserver l’intégrité géométrique des modèles sur le long terme.

I.4 Application au Recalage d’Images Satellitaires pour le Suivi de la Déforestation

Le suivi de la couverture forestière du bassin du Congo nécessite de superposer des images satellites prises à des dates différentes. Ces images sont rarement alignées en raison des variations d’angle du satellite. L’étudiant utilisera les matrices de transformation pour corriger la distorsion géométrique d’une image par rapport à une image de référence. En identifiant des points de contrôle invariants (amers), il calculera la matrice de transformation affine (rotation, translation, échelle) optimale pour recaler l’image, permettant une comparaison pixel à pixel et une quantification précise de la déforestation.

PARTIE 2 : ANALYSE 3 – ANALYSE NUMÉRIQUE ET OPTIMISATION

Chapitre IV. Résolution Numérique des Équations Non Linéaires

IV.1 Dichotomie, Point Fixe et Méthode de Newton-Raphson

Face à une équation f(x)=0 sans solution analytique évidente, l’analyse numérique fournit des algorithmes pour en approcher les racines. Cette section présente les trois méthodes fondamentales : la dichotomie, garantie de converger mais lente ; l’itération du point fixe, dont la convergence dépend du choix de la fonction ; et la méthode de Newton-Raphson, à la convergence quadratique rapide mais sensible à l’initialisation. L’étudiant doit comprendre l’ordre, la vitesse et les conditions de convergence de chaque méthode pour choisir la plus adaptée au problème.

IV.2 Critères d’Arrêt, Vitesse de Convergence et Analyse d’Erreurs

Un algorithme itératif doit savoir quand s’arrêter. Ce sous-chapitre outille l’étudiant en définissant des critères d’arrêt robustes, basés sur la valeur de la fonction, la distance entre itérés ou un nombre maximal d’itérations. Il formalise la notion de vitesse de convergence (linéaire, quadratique) qui permet de comparer l’efficacité des algorithmes. L’analyse de la propagation des erreurs d’arrondi et de troncature est introduite, car une méthode théoriquement parfaite peut échouer en pratique sur un ordinateur à précision finie.

IV.3 Bassins d’Attraction et Comportement Chaotique des Méthodes Itératives

L’application de la méthode de Newton à des fonctions complexes révèle une richesse inattendue. Les points de départ qui convergent vers une même racine forment des “bassins d’attraction” aux frontières souvent fractales. Ce segment explore cette complexité, montrant comment un choix de départ infinitésimalement différent peut mener à une racine complètement différente, ou même à la divergence. Cette sensibilité aux conditions initiales est une introduction pragmatique à la théorie du chaos et une mise en garde contre une confiance aveugle dans les algorithmes numériques.

IV.4 Calcul du Taux de Rentabilité Interne (TRI) d’un Projet Minier

Le Taux de Rentabilité Interne est une métrique clé pour évaluer la viabilité d’un investissement, comme l’exploitation d’une concession de cuivre dans le Katanga. Il correspond à la racine de l’équation de la Valeur Actuelle Nette (VAN), une fonction polynomiale complexe des flux de trésorerie futurs. L’étudiant appliquera la méthode de Newton-Raphson ou de la sécante pour trouver numériquement le TRI. Cet exercice démontre comment résoudre un problème financier concret qui se ramène à la recherche d’une racine d’équation non-linéaire.

Chapitre V. Interpolation Polynomiale et Approximation de Fonctions

V.1 Polynômes de Lagrange et Forme de Newton

Lorsqu’on ne dispose que de points de données discrets, l’interpolation polynomiale permet de construire une fonction continue qui passe par ces points. Cette section introduit les deux approches principales : la construction globale du polynôme de Lagrange, élégante mais coûteuse à réévaluer si un point est ajouté, et la forme de Newton avec les différences divisées, qui est constructive et plus flexible. L’étudiant apprendra à construire le polynôme d’interpolation unique pour un ensemble de points donné, une compétence de base pour tout statisticien.

V.2 Phénomène de Runge et Instabilité de l’Interpolation de Haut Degré

L’intuition selon laquelle “plus de points et un degré plus élevé donnent une meilleure approximation” est fausse. Le phénomène de Runge démontre que l’interpolation polynomiale de haut degré peut osciller de manière sauvage entre les points de données, en particulier près des bords de l’intervalle. Cette analyse critique expose les dangers de l’interpolation globale. Elle justifie la transition vers des méthodes plus robustes comme l’interpolation par morceaux ou les splines, qui privilégient la régularité locale à la complexité globale.

V.3 Splines Cubiques : Lissage et Continuité des Dérivées

Pour pallier les oscillations de l’interpolation de haut degré, les splines cubiques proposent une solution locale et lisse. Elles consistent à raccorder des polynômes de degré 3 sur chaque sous-intervalle, en imposant des conditions de continuité non seulement sur la fonction mais aussi sur ses dérivées première et seconde. Ce sous-chapitre détaille la construction du système d’équations tridiagonal qui permet de calculer les coefficients des splines. Le résultat est une courbe d’approximation lisse, esthétique et numériquement stable, très prisée en modélisation et en infographie.

V.4 Reconstitution de Séries Chronologiques Climatiques Incomplètes

Les stations météorologiques en Afrique Centrale souffrent souvent de pannes d’énergie ou de matériel, créant des lacunes dans les séries de données de pluviométrie ou de température. L’étudiant utilisera l’interpolation par splines cubiques pour estimer les valeurs manquantes de manière crédible. Contrairement à une simple interpolation linéaire, les splines respecteront la “douceur” et la dynamique saisonnière du phénomène climatique, produisant une série chronologique complète et utilisable pour des analyses statistiques ou des modèles de prévision agricole plus fiables.

Chapitre VI. Introduction à l’Optimisation Numérique et Algorithmes

VI.1 Formalisation d’un Problème d’Optimisation : Fonction Objectif et Contraintes

L’optimisation est l’art de trouver le meilleur résultat possible sous un ensemble de contraintes. Cette section fondatrice enseigne comment traduire un problème de décision du monde réel en un problème mathématique formel. L’étudiant apprendra à définir la fonction objectif (la quantité à maximiser ou minimiser), les variables de décision et l’ensemble des contraintes (égalités ou inégalités) qui délimitent l’espace des solutions admissibles. Cette formalisation est l’étape la plus critique, déterminant la réussite de toute la démarche d’optimisation.

VI.2 Méthode du Gradient : Descente et variantes (Pas Optimal, Conjugué)

Pour les problèmes d’optimisation sans contraintes, la méthode de descente de gradient est l’algorithme le plus fondamental. Elle consiste à se déplacer itérativement dans la direction opposée au gradient de la fonction objectif. Ce sous-chapitre détaille l’algorithme de base, puis introduit des améliorations cruciales : la recherche linéaire pour trouver le pas optimal à chaque étape, et la méthode du gradient conjugué, qui accélère considérablement la convergence en évitant les directions déjà explorées. Ces outils sont le moteur de l’apprentissage automatique moderne.

VI.3 Minima Locaux vs Minimum Global : Le Piège de l’Optimisation

La méthode du gradient garantit de trouver un minimum, mais rien ne prouve que ce soit le minimum global. Pour des fonctions complexes avec de multiples “vallées”, l’algorithme peut rester piégé dans un minimum local suboptimal. Cette analyse critique discute de ce problème fondamental de l’optimisation non-convexe. Elle introduit la distinction entre méthodes locales (comme le gradient) et méthodes globales (comme le recuit simulé ou les algorithmes génétiques), soulignant qu’il n’existe pas de solution universelle et que la connaissance du domaine est cruciale.

VI.4 Optimisation de la Composition d’un Portefeuille d’Actifs Locaux

Un analyste quantitatif à la bourse de Kinshasa cherche à construire un portefeuille d’actions qui maximise le rendement pour un niveau de risque donné. Ce problème se formule comme l’optimisation d’une fonction quadratique (la variance du portefeuille) sous une contrainte linéaire (le rendement espéré). L’étudiant appliquera les techniques d’optimisation sous contraintes (multiplicateurs de Lagrange) pour trouver l’allocation optimale des fonds entre différents actifs. Cet exercice illustre la puissance de l’optimisation pour la prise de décision financière stratégique.

ANNEXES

A. Boîte à Outils Numérique : Python avec NumPy et SciPy

Pour l’analyste quantitatif, la traduction des concepts mathématiques en code exécutable est une compétence non négociable. Cette annexe présente l’écosystème Python, avec les bibliothèques NumPy pour la manipulation de matrices et de vecteurs, et SciPy, qui implémente directement la plupart des algorithmes vus dans ce cours (résolution d’équations, interpolation, optimisation, algèbre linéaire). Elle fournit des exemples de code concrets pour chaque chapitre, montrant comment résoudre numériquement les problèmes avec des outils gratuits, open-source et massivement adoptés par l’industrie, même avec des ressources de calcul limitées.

B. Visualisation Spatiale des Données : Initiation à GeoPandas

Un chargé d’études statistiques doit savoir communiquer ses résultats. Pour les données à composante spatiale, une carte est plus éloquente qu’un tableau de chiffres. Cette annexe initie à GeoPandas, une bibliothèque Python qui étend les capacités de manipulation de données de Pandas aux objets géométriques. L’étudiant apprendra à charger des fichiers de formes (shapefiles) de districts sanitaires de la RDC, à y joindre des données statistiques (taux de prévalence, etc.), et à produire des cartes thématiques (choroplèthes) pour visualiser les disparités géographiques.

C. Solveurs d’Optimisation Linéaire et Quadratique : PuLP et CVXOPT

Le modélisateur de données est souvent confronté à des problèmes d’allocation de ressources qui se formulent comme des programmes linéaires (PL) ou quadratiques (PQ). Cette annexe présente des bibliothèques Python spécialisées comme PuLP pour la modélisation intuitive de PL, et CVXOPT pour la résolution efficace de problèmes d’optimisation convexe, incluant les PQ vus dans le cas du portefeuille. Elle guide l’utilisateur dans la formulation du problème (variables, objectif, contraintes) en syntaxe Python, puis dans l’appel au solveur pour obtenir la solution optimale et les variables duales.

Lire aussi :

Cours de Déontologie de l'informaticien, licence-4, DIF1481

Cours de Méthodes de Reconnaissance Géophysiques, master-1, MRG2121

Cours de Conception de Circuit Intègre Numerique, master-1, CCN2121

Cours de Recherche scientifique en informatique 1, master-1, RSI2121

Cours de Assainissement et Bio-remédiation des sites contaminés, master-2, ABC2231

Cours de Principes de base de Gestion des Eaux et des Bassins Versants, master-1, PBG2111