PRÉLIMINAIRES
I. La modélisation mathématique au service de l’ingénierie logicielle
II. L’optimisation algorithmique et la maîtrise du calcul numérique
III. L’ancrage opérationnel dans les projets technologiques du Cameroun

Chapitre I. L’analyse numérique matricielle et la résolution de systèmes linéaires
I.1. La gestion du trafic de données dans le réseau fibre optique de Kribi
L’interconnexion des infrastructures portuaires de Kribi génère un réseau de routeurs subissant des variations constantes de charge utile. Le calcul des débits optimaux entre les nœuds exige la résolution simultanée de systèmes d’équations linéaires à plusieurs inconnues. L’application directe de la méthode du pivot de Gauss transforme la matrice augmentée en une matrice triangulaire supérieure, simplifiant ainsi la remontée des solutions par substitution arrière. Encadrer la résolution pas à pas d’un système d’équations à quatre variables par élimination gaussienne pour amener les élèves à formaliser l’algorithme d’inversion matricielle utilisé par les processeurs réseau.

I.2. La décomposition LU et l’inversion des matrices carrées
La répétition fréquente de calculs de charge sur une même topologie réseau rend l’élimination gaussienne classique inefficace en temps de calcul. La factorisation de la matrice de covariance en un produit d’une matrice triangulaire inférieure L et d’une matrice triangulaire supérieure U isole la phase de décomposition de la phase de résolution. Cette séparation permet d’injecter successivement différents vecteurs de second membre sans recalculer la structure matricielle globale. Guider le calcul manuel de la décomposition LU d’une matrice carrée d’ordre 3 pour faire maîtriser le principe d’optimisation du temps d’exécution des algorithmes d’algèbre linéaire.

I.3. La résolution approchée par les méthodes itératives de Jacobi et Gauss-Seidel
Les systèmes linéaires creux issus du traitement d’images satellitaires au dessus du bassin du Congo comportent plusieurs centaines de variables. L’utilisation des méthodes itératives de Jacobi et de Gauss-Seidel permet de construire une suite convergeant vers la solution exacte à une tolérance fixée. La méthode de Gauss-Seidel accélère la convergence en réinjectant immédiatement les composantes calculées dans la même itération. Piloter la mise en œuvre du critère de convergence de la diagonale strictement dominante pour faire évaluer la vitesse d’approximation d’une solution numérique.

Chapitre II. La théorie des graphes et l’optimisation des parcours
II.1. La modélisation du réseau de distribution électrique d’Edéa
L’acheminement de l’énergie produite par le barrage d’Edéa vers les différents centres urbains du Littoral s’organise sous la forme d’un réseau interconnecté. La modélisation de cette infrastructure sous la forme d’un graphe valué associe les sommets aux postes de transformation et les arêtes aux lignes à haute tension. La détermination des chaînes et des cycles permet d’identifier les zones de vulnérabilité et de garantir la continuité de fourniture de courant. Superviser la construction d’un graphe orienté à partir d’un tableau de connexions pour faire traduire une problématique physique en une structure combinatoire abstraite.

II.2. L’algorithme de Dijkstra et la recherche du plus court chemin
Le routage dynamique des paquets de données entre Douala et Garoua nécessite la sélection de l’itinéraire présentant le temps de transit minimal. L’algorithme de Dijkstra explore progressivement les sommets du graphe en mettant à jour la distance provisoire par rapport à la source. L’affectation de marques définitives aux sommets garantit l’obtention de la trajectoire optimale dans un graphe à pondérations positives. Coordonner le déroulement pas à pas de l’algorithme de Dijkstra sur un graphe d’interconnexion régionale pour amener les élèves à minimiser un coût de transport ou une latence de transmission.

II.3. L’arbre couvrant de poids minimum par l’algorithme de Kruskal
Le déploiement d’un réseau local en fibre optique dans le campus universitaire de Yaoundé exige de raccorder tous les bâtiments en minimisant la longueur totale de câble posé. L’algorithme de Kruskal sélectionne les arêtes par ordre croissant de poids en rejetant toute arête formant un cycle avec les liaisons déjà retenues. Cette procédure gourmande aboutit à la création d’un arbre couvrant de poids minimal assurant la connectivité globale. Animer l’application de l’algorithme de Kruskal sur un réseau de distribution physique afin de faire concevoir une architecture réseau d’un coût minimal.

Chapitre III. La recherche opérationnelle et la programmation linéaire
III.1. L’optimisation de la production industrielle dans la zone de Bassa
Une usine de transformation agroalimentaire basée à Douala produit deux types de jus de fruits à partir de mangues et d’ananas stockés en quantités limitées. La maximisation du bénéfice commercial sous contraintes de ressources se traduit par un système d’inéquations linéaires à deux variables de décision. La résolution graphique identifie le domaine des solutions admissibles dont le sommet optimal correspond au point de contact avec la droite de bénéfice maximal. Diriger la construction de la région admissible dans un plan orthonormé pour faire déterminer le programme d’exploitation garantissant la rentabilité maximale.

III.2. L’algorithme du simplexe pour la résolution de problèmes multidimensionnels
L’organisation de la flotte de camions de livraison desservant les marchés de la Mifi à Bafoussam implique de nombreuses contraintes logistiques et budgétaires. L’augmentation du nombre de variables de décision rend la méthode graphique inoperante et nécessite l’emploi du tableau du simplexe. La transformation des inégalités en égalités par l’ajout de variables d’écart permet d’effectuer des opérations de pivotement successives jusqu’à l’obtention des coefficients de coût réduits tous négatifs. Encadrer le pivotement de Gauss sur le tableau du simplexe pour amener les élèves à résoudre de façon méthodique un problème d’optimisation sous contraintes multiples.

III.3. L’analyse de sensibilité et la dualité en programmation linéaire
La variation du cours des matières premières agricoles impacte directement la marge bénéficiaire des produits transformés. L’étude du problème dual associé au programme linéaire initial fournit les prix d’ombre des ressources, mesurant l’augmentation du bénéfice pour chaque unité supplémentaire de matière première disponible. Cette analyse d’impact permet aux décideurs d’anticiper la volatilité des marchés. Piloter l’interprétation économique des variables dues pour faire évaluer la valeur marginale des ressources rares au sein d’une entreprise.

Chapitre IV. L’interpolation numérique et l’intégration approchée
IV.1. L’ajustement de données expérimentales dans la station météorologique de Maroua
La prévision des précipitations dans la région du Far-Nord s’appuie sur la collecte ponctuelle de données de température et de pression atmosphérique. La reconstitution d’une fonction continue d’évolution à partir de valeurs discrètes nécessite l’emploi du polynôme d’interpolation de Lagrange. Ce polynôme passe exactement par tous les points expérimentaux mesurés, fournissant un modèle d’estimation pour des instants non observés. Guider la construction de la base de polynômes de Lagrange pour faire calculer la valeur interpolée d’un paramètre physique entre deux points de mesure.

IV.2. L’interpolation par les différences divisées de Newton
L’acquisition de nouvelles mesures météorologiques en cours de journée impose la mise à jour du polynôme d’interpolation sans reprendre l’intégralité des calculs précédents. La méthode des différences divisées de Newton exprime le polynôme sous une forme triangulaire facilitant l’ajout séquentiel de nouveaux nœuds d’interpolation. Cette méthode réduit la complexité algorithmique du modèle prédictif. Superviser l’établissement du tableau des différences divisées pour faire construire le polynôme d’interpolation de Newton et évaluer l’erreur d’approximation commise.

IV.3. L’intégration numérique par les méthodes des trapèzes et de Simpson
Le calcul de la surface d’un bassin versant le long de la vallée de la Benoué ne dispose pas d’une fonction d’intégration analytique connue. L’application de la méthode des trapèzes découpe le domaine en sous-intervalles pour approcher la courbe par des segments de droite. La méthode de Simpson améliore la précision du calcul en substituant des arcs de parabole aux segments, fournissant une valeur très exacte du volume d’eau emmagasiné. Coordonner la mise en œuvre numérique des formules des trapèzes et de Simpson pour amener les apprenants à calculer l’intégrale d’une fonction discrétisée.

ANNEXES
A. Table de résolution numérique du simplexe et algorithme de pivotement
B. Formulaire synthétique des méthodes d’interpolation et d’intégration numérique
<

Poursuivez votre programme

INFORMATIQUE [Seconde STT]

Voir le manuel

PÉDOLOGIE [Première AG – PV]

Voir le manuel

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES [Première G2]

Voir le manuel